A - L'arithmétique de Boysset

La façon de mener les calculs : l'usage de l'abaque à jetons

Comme on va le voir, le vocabulaire opératoire de Boysset est plus restreint que celui d'autres traités écrits en français ou bien en langue d'oc et qui utilisent le calcul sur papier. Bertrand n'emploie pas le terme " multiplier " qui est courant dans le domaine roman, mais le verbe somar. Il se sert, pour évoquer la division, des verbes " diviser " et " partager " à l'instar de nombreux exemples ; il qualifie aussi l'addition et la soustraction : " ajouter " et " rabattre ". Le problème se pose de savoir comme notre arpenteur - puisqu'il ne le dit pas explicitement - effectuait ses opérations ; en d'autres termes, utilisait-il le papier ou bien pratiquait-il le compte par jetons en se servant d'une abaque ?

Je rappelle tout d'abord l'usage constant des chiffres romains. Je ferais une seconde remarque sur le déroulement chronologique de l'opération : comme on l'a déja vu à plusieurs reprises, celle ci est déja faite lorsque Bertrand utilise l'impératif et enjoint au lecteur " escrieu ", il semble donc que l'utilisation du papier n'intervient qu'une fois le résultat obtenu. La lecture du ch. 36 donne une autre indication lorsqu'il dit " tu sortis e gieta que destres o palms venra per una quada una de las parts ", l'emploi du verbe gitar associé ici à sortir - qui veut dire " obtenir le résultat de l'opération " - est caractéristique de l'usage des jetons d'abaque, on les jette - on les dispose selon la valeur qu'ils doivent représenter - sur la table de l'abaque. Enfin, si l'on comprend que Boysset utilise le calcul par jetons, le sens du ch. 12 de La siensa de destrar s'éclaircit tout à fait. Intitulées " chapitre des palms simples ou carrés " ces quelques lignes peuvent se lire ainsi :

" De même, arpenteur, quand tu auras arpenté une terre ou une vigne et qu'elle aura tant de destres et tant de palms de long, et tant de destres et tant de palms de large, et que tu viendras à faire ton opération, sois avisé que, dans l'angle de l'abaque où l'on additionne les palms, il s'agit de palms linéaires et il faudra que tu mettes 16 palms linéaires pour avoir un palm carré, si tu veux faire ton compte loyal, juste et véritable, c'est pourquoi note le bien. "

Et en effet, alors que le calculateur a procédé à la multiplication des destres sur une autre colonne de l'abaque, il n'a pas encore fait la même opération pour les palms, ce que lui rappelle Boysset en lui donnant une équivalence.

Ainsi, en établissant l'usage de l'abaque à jetons pour la réalisation des opérations arithmétiques, nous trouvons une première indication sur le positionnement de l'oeuvre de Boysset dans la tradition mathématique du Moyen Âge et un élément décisif pour la compréhension de sa formulation des calculs de surface.

a - Quel vocabulaire pour quelles opérations ?

Somar : faire une opération sur l'abaque

L'expression far la soma signifie faire une opération sur l'abaque. Lorsque le propriétaire d'une terre veut en savoir la superficie, après que l'arpenteur en ait pris ses dimensions ce dernier peut également employer l'expression sortir la soma. Le résultat de l'opération qui donne la superficie est ici indiqué par le verbe sortir : après avoir pris ses mesures et posé l'opération on peut sortir la soma et l'on saura combien il y a de sèterées. Le résultat lui même lorsque Boysset n'emploie pas de périphrases comme ci dessus peut s'appeler le nombre , on peut aussi trobar le nombre .

Mais c'est le verbe somar qui s'emploie le plus fréquemment pour marquer l'obtention du résultat , les mots soma/somar/asomar sont utilisés à 55 reprises dans la La siensa de destrar. De la même façon, Boysset, lorsqu'il arpente dans le terroir de Notre-Dame d'Amour, utilise systématiquement une expression de ce type qui rend compte du résultat obtenu pour chaque pièce de terre mesurée : " Son destres 1051 e 7 palms e mieg, soman sestairadas 6 e 114 destres e 15 palms e mieg. " L'emploi de la phrase somar la soma, est à l'origine de passages très allitératifs où l'on se trouve en présence de véritables chapelets de mots aux racines identiques comme au ch. 40 :

La soma que somara tota la terra

Il en est de même au ch. 46 de La siensa d'atermenar :

Quant l'auras destrada, sortis e soma que destres somaran, et apres, vejas
quantas sestairadas seran, e sauput que ajas ta soma sertana.

L'usage abondant de ces types d'expressions a donc pour fonction de signaler au lecteur que l'arpenteur effectue un calcul sur l'abaque, mais offre-t-il de suffisantes précisions pour savoir duquel il s'agit, multiplication, addition... ? Examinons le ch. 31 qui montre bien le déroulement d'une opération :

tu somaras totas tas somas, quant del lonc, quant del traves...
somat que sera tot...
escrieu tantost ta soma e ton nombre per entier...

Ainsi l'arpenteur soma la longueur et la largeur, puis il en écrit le résultat (ta soma e ton nombre), mais rien n'est indiqué sur l'opération arithmétique effectuée, on ne sait pas de quoi il s'agit. La même imprécision se retrouve au ch. 39 où l'on doit, sans autre forme de procès, somar la base et la moitié de la longueur d'une figure. De même, au ch. 43, Boysset nous fournit un véritable florilège sur l'emploi de soma et de somar. Alors qu'il a effectué des calculs de surface de parallélogrammes et de triangles, qu'il s'est livré à l'addition des diverses superficies obtenues, il utilise les deux termes pour décrire indifférement tous ces types de calcul :

 

Et apres, tu, destra los quaps tant per quayrats quant per conhets et escrieu ta somas totas, tant de destres quant de palms. Et apres soma quascuna destradura per si, e, somat que sie, fay soma general de tot. Et adoncs atrobaras quantos destres e quantas sestairadas seran.

Diviser

Le terme diviser (devesir) est surtout employé pour signaler la partition matérielle d'une pièce de terre, seuls deux emplois laissent penser à la réalisation d'une opération sur des nombres. Boysset enjoint à l'arpenteur de : " Devesis ton nombre ... rata per rata segon las parts que volran far d'aquela posesion, sien 2 o 3 Ch. 25", plus loin il donne d'autres précisions :

Si sobra, devesis o destre per destre o palm per palm - o mens per mens, o mais per mays - per tantas parts con auras fachas d'aquela posesion.

Le ch. suivant est plus explicatif, après avoir posé l'opération et calculé le résultat, on l'écrit sur le papier :

E sortit que auras ton nombre, devesis ta soma per tantas parts con las parts volran que fasas del conhet et escrieu la soma Ch.26.

En fait, notre arpenteur utilise surtout des périphrases du genre : " Partage la par la moitié, le tiers..., prends en la moitié Ch. 38" comme il l'écrit au ch. T71 :

" Item, apres, las gibas per tu destradas e de tot en tot asomada, aquela soma part per mieg e cant l'auras partida, destra a quaucun quap de la posesion conquava aytantos destres con sortira la mitat de la soma desus dicha. "

Il peut aussi se servir du verbe trosar : " Trosa la per mieg. "

Le verbe partir représente l'opération physique du partage de la terre. Au ch. 25 Boysset indique bien que l'action de diviser le résultat en effectuant un calcul est subordonnée à la volonté de partir la terre, ce qu'il met en évidence au ch. 45 lorsque le dessin qu'il trace montre l'arpentage et le type de division qu'il préconise. Le fait est encore plus clair dans l'arpentage à Notre-Dame d'Amour, il a fait les calculs (asom) et il a procédé aux opérations sur le terrain : " aquabiey de partir, de destrar et de atermenar totas las posesions. "

Multiplier

Il n'y a pas, dans les traités, de terme qui traduise clairement le concept de multiplication, seuls les verbes doblar et triplar introduisent sans équivoque cette notion. Le sens de doblar reste néanmoins peu clair, comme on le verra plus bas, au premier abord il semble que l'on doive l'interpréter comme " doubler, multiplier par deux ", mais l'analyse des formules de surface laisse penser à un emploi au sens plus général de " multiplier " . En revanche dans le ch. T81, le déroulement de la procédure de calcul montre que c'est la signification de " multiplication par deux " qui est mise en avant :

" Toi, mesure la largeur du ruisseau où l'eau coule à l'aide d'une corde, cette mesure, toi double la, puis une fois doublée, toi mesure avec ton destre cette longueur et cette longueur, écris-la "

Ici la largeur du marais est mesurée puis multipliée par deux, elle est ensuite combinée avec la longueur.

Ajouter, retrancher

Il existe deux mentions explicites de l'addition caractérisées par l'emploi du verbe ajustar. Ainsi, lors de l'arpentage d'une pièce de terre composée de formes variées, Boysset donne la méthode à suivre et indique les manoeuvres de jetons [aponre et rebatre] à effectuer sur l'abaque pour arriver au bon résultat : " Regarde bien s'il y aura des coudes ou des bosses et arpente les tous, que le périmètre soit rentrant ou bien en saillie. S'il est rentrant, soustrait, s'il est en saillie remets des jetons et ajoute au résultat final Ch. 3. " Il s'en trouve une autre formulation dans La siensa d'atermenar : " De ce résultat, toi prends la moitié de la différence entre la grande et la petite lieue et ajoute-la aux 5 pieds par toi mesurés sur la petite lieue Ch. 38", il y a donc là une division par deux puis une addition avec un résultat précédement obtenu.

Le verbe rebatre signalé plus haut signifie soustraire :

" Item, apres, tu, conta e pren lo nombre que resta en la mesura davant dicha, rebatut los 5 pases per tu preses per la legua menor, e rebatut lo plus lonc de la mesura per tu presa per la legua major Ch. T38. " On en connait deux autres emplois: " E rebat ho del nombre desus ", " E so que sobrara, tu rebat de la longuesa . "

b - Techniques opératoires du calcul de la soma del cairat

Ce genre de calcul est le plus fréquemment employé par Bertrand, il l'utilise pour connaître la superficie d'un rectangle arpenté en croix et je vais maintenant développer la façon de conduire les opérations.

Pour cela, il est nécessaire de relire le ch. 14 :

" Quelle différence y-a-t-il entre la mesure de destre - qu'il s'agisse du destre long ou du destre court - et entre la mesure de canne ?

De même, arpenteur, si quelqu'un te demandait si le calcul du destre carré et de la canne carrée peuvent se faire d'un manière identique, en prenant en compte leur rapport [qui est celui de 2 à 1], sache que non. Car dans le destre carré d'Arles on ne compte que 16 palms carrés, qu'il s'agisse du destre des terres ou des labours, et dans le destre des vignes il y 13 palms carrés, et d'après la longueur de la canne carrée dont on se sert il n'y a que 8 palms carrés. Si l'on calculait de cette façon, le grand destre ferait 4 canne carrées, ce qui ferait 32 palms carrés.

C'est pourquoi sache que la mesure de destre n'est pas identique à la mesure de canne, car 16 palms linéaires du grand destre ne font qu'un palm carré et 13 palms linéaires du petit destre ne sont qu'un palm carré et 8 palms linéaires d'une canne font un palm carré selon le calcul des charpentiers et des gens de métiers.

C'est pourquoi sache que le calcul des arpenteurs - ou du destre - n'est pas le même que le calcul et la mesure de la canne et des charpentiers, note le bien. "

Boysset nous dit ici les choses suivantes :

Soit :

• x = destre de 16 palms
• y = canne de 8 palms
• Sx = 16 p²
• Sy = 8 p²

On a les égalités suivantes :

• x = 2y
• 4Sy = 32 p²
• Sx = 2Sy

Si on effectue une opération du type " semblant lo conte l'un de l'autre segon sa rata " on trouve :

• Sx = 32 p² = 4 Sy

au lieu du bon résultat qui est

• Sx = 2Sy

Dans la réalité on a :

• Sx = 64 p²
• Sy = 256 p²
• Sy = 4Sx

Au ch. 33, Boysset revient encore sur la question et rappelle les données que je viens de développer. Il redit qu'il faut se souvenir que x = 2y, précaution indispensable pour mener à bien les calculs et ne pas faire fausse route en opérant " semblant lo conte l'un de l'autre segon sa rata ". Puis il réitère l'avertissement Sx = 2Sy, et il insiste pour que l'arpenteur ne néglige pas ces équivalences lorsqu'il fera ses calculs pour le cas où il serait obligé de choisir la mesure de canne pour effectuer ses relevés. Il donne donc les indications suivantes où la valeur la valeur du p² n'est pas considérée comme une surface mais comme un opérateur de conversion :

 

 

Le dernier passage du ch. 14 indique la manière de calculer les palms carrés pour les trois unités de longueur considérées, ce qu'il faut comprendre comme des indications opératoires identiques à celles développées au ch. 12 qui traite spécialement de ce sujet. A cet endroit du traité, Boysset dit : " Il faut que tu y mettes 16 palms simples pour obtenir un palm carré ", ce faisant il nous donne une indication sur sa manière de procéder au calcul des p² lorsqu'il se sert de l'abaque. On peut en effet penser que Bertrand ajoute les palms (" à l'angle où l'on ajoute les palms ") puis qu'il les divise par 16 pour obtenir des p². Je note que la validité de ce mode de calcul des p² est confortée par sa méthode d'extraction de la racine carrée des p² comme on va le voir au paragraphe suivant.

Pour résumer

Soit :

• Ld = Longueur en destres de 16 palms
• Lp = Longueur en palms
• ld = largeur en destres de 16 palms
• lp = largeur en palms

Pour calculer S [la soma del cairat] Ch. 39, il faut faire l'opération suivante :

S en d² p² = (Ld x ld) + (Lp+lp)/16

c - Les comptes faits

Les fos 66 à 98 de Carpentras 327 contiennent six séries de comptes faits qui donnent des résultats de superficie, de longueur et de prix pour les terres et les vignes. En voici le détail :

 

 

Ces barêmes sont particulièrement instructifs car il permettent de voir que Boysset a calculé des racines carrées ce qui élargit notre connaissance de son horizon mathématique. Il est également possible, grâce à l'arpentage de Notre-Dame d'Amour, d'en percevoir directement l'utilisation pratique que pouvait en faire l'arpenteur lorsqu'il effectuait des calculs de conversion.

Racines carrées

Dans trois comptes faits Bertrand met en oeuvre un calcul de racines carrées.

Il procède d'abord à l'extraction de puis extrait la racine carrée des palms² en extrayant la racine² de leur valeur en palms simples : et non pas en calculant directement , car il considère que p² = 16 p comme il l'a indiqué au ch.12.

Le tableau qui suit montre un choix de calcul où l'on pourra voir que Boysset extrait correctement les racines entières (9, 16, 64, 2500, 10000...) mais que les résultats sont beaucoup plus approximatifs pour les autres, il ajuste alors le résultat en rajoutant quelques palms. La méthode dont il se sert reste à déterminer mais doit s'apparenter à celle qu'utilise Jehan Adam.

 

 

 

Utilisation des comptes faits pour les conversions de d² en sétérées

L'utilité des comptes faits est illustrée de manière évidente lorsque l'on met en rapport avec eux l'arpentage de Notre-Dame d'Amour. Dans ce travail Boysset a procédé à des conversions en sétérées, d², p² de surface calculées en d² p². Bertrand a d'abord trouvé la surface en destres et palms² des terres arpentées puis il a transformé ces résultats en sétérées à l'aide d'une méthode qui semble devoir être formulée de la façon générale suivante :

Soit :

• x = surface en d² p² à convertir en sétérées, d², p²
• d²x = nombre de d² contenus dans x
• p²x = nombre de p² contenus dans x
• y = surface en d² p² immédiatement inférieure à x prise dans les comptes faits
• d²y = nombre de d² contenus dans y
• p²y = nombre de p² contenus dans y
• z = valeur entière de y en sétérées

On cherche

R = valeur de x en sétérées, d², p²

• R = z + (d²x - d²y) + (p²x - p²y)

Je vais la tester sur un premier exemple numérique tiré de cet arpentage de Notre-Dame d'amour.

Soit :

• x = 2873 d² 12 p²
• y = 2812 d² 8 p²
• z = 18 sét.
• R = 18 sét + [(2873 d² - 2812 d²) + (12 p² - 8 p²)]
• R = 18 sét + 61 d²+ 4 p²

R de Boysset = 18 sét 61 d² 4 p². Les résultats sont identiques.

Un deuxième exemple confirme sa validité.

Soit :

• x = 1605 d² 6,5 p²
• y = 1562 d² 8 p²
• z = 10 sét.
• R = 10 sét + [(1605 d² - 1562 d²) + (6,5 p² - 8 p²)]
• R = 10 sét + 43 d² - 1,5 p²
• R = 10 sét. + 42 d² + 14,5 p²

Boysset obtient 10 sét. 42 d² 14,5 p² les résultats sont identiques.

L'examen d'autres exemples fait apparaître l'usage général de cette formule et les disjonctions qui se trouvent dans les résultats sont attribuables à des erreurs de calcul de Boysset comme dans les cas suivants :

1 - Soit :

• x = 966 d²
• y = 937 d² 8 p²
• z = 6 sét.
• R = 6 sét + [(966 d² - 937 d²) + 8 p²]
• R = 6 sét + 29 d² + 8 p²

le résultat de Boysset est 6 sét 28 d² 8 p² il diffère de 1d² ce qui doit être une erreur d'opération.

2 - Soit :

• x = 979 d²
• y = 937 d² 8 p²
• z = 6 sét.
• R = 6 sét + [(979 d² - 937 d²) + 8 p²]
• R = 6 sét + 42 d² + 8 p²

Le résultat de Boysset est de 6 sét + 41 d² + 8 p², il a fait une erreur de calcul en oubliant un destre² dans la soustraction

Ainsi, en s'appuyant sur les comptes faits, Boysset n'utilise-t-il que des soustractions ou des additions. On comprend mieux la raison de la longue élaboration de ces listes de nombres puisque leur usage permettait de se passer d'opérations complexes comme la division et la multiplication dont la mise en oeuvre s'imposerait aujourd'hui pour de telles conversions.

B - Les formules de calcul de surface

A la lumière des développements que je viens d'effectuer et de l'analyse des différentes formes de figures géométriques que j'ai décrites plus haut, je reprends cas par cas la formulation littérale des calculs de surface proposés par Boysset, m'occupant d'abord des rectangles puis des autres types de figures. Le tableau ci dessous résume les diverses mentions de l'arpentage en croix, utilisé pour la mesure des rectangles.

a - Rectangles

L'arpentage en croix

 

 

Le ch. 38 de La siensa de destrar résume bien la doctrine de Boysset en cette matière, en voici une traduction :

" Quelle est la manière la plus à propos, la meilleure et la plus rapide pour arpenter une terre, faut-il arpenter chaque côté de la longueur puis les deux extrémités ou bien faut-il l'arpenter en croix, c'est à dire mesurer la longueur de la pièce de terre prise au milieu des extrémités puis mesurer la largeur prise perpendiculairement au milieu de la longueur?

Arpenteur, sache de façon certaine que, quelle que soit celle de ces 2 manières que tu utilises pour arpenter une terre, soit en arpentant les deux côtés de la longueur puis les deux extrémités, soit en arpentant d'abord la longueur prise au milieu de la largeur puis en mesurant la largeur prise perpendiculairement au milieu de la longueur, toutes ces deux méthodes sont belles et bonnes et tu peux les utiliser et choisir celle que tu veux.

Mais je te dis bien, et de façon certaine, que l'arpentage de la longueur prise au milieu de la largeur puis de la largeur prise perpendiculairement au milieu de la longueur est meilleur, plus certain et plus assuré que l'arpentage de chaque côté de la longueur puis des deux extrémités. Voici pourquoi : si tu arpentes une possession par les deux longueurs et les deux largeurs, tu trouveras un conhet petit ou grand à une des extrémités et il te faudra faire un autre arpentage pour ce conhet et tu auras d'autant plus à faire.

Si tu arpentes d'abord la longueur prise au milieu de la largeur puis si tu mesures la largeur prise perpendiculairement au milieu de la longueur, tu n'auras pas plus d'arpentage à faire et tu n'auras pas tant de peine ni de travail car il ne te faudra pas autant calculer et arpenter comme tu l'aurais fait en procédant de l'autre façon... "

Boysset a donc fait un choix délibéré entre deux formules, celle en croix et celle qui prends en compte le périmètre de la pièce mais qui, précise-t-il, oblige à procéder à une décomposition en plusieurs figures. Le dessin 54 montre un quadrilatère vaguement trapézoïdal et les traits en pointillés indiquent deux choses : l'arpentage en croix matérialisé par les deux perpendiculaires à l'équerre et par la décomposition en triangles. En fait Boysset a tracé ici deux surfaces équivalentes mais dont l'une est plus longue à arpenter que l'autre. Le dessin montre bien que, si dans le texte Bertrand considère que la mesure des quatre côtés suffit à exprimer la surface, en revanche, dans le dessin il procède comme il le fait d'habitude en décomposant en figures simples. Tout se passe comme si Boysset avait pris la formule des quatre côtés dans un traité sans bien la comprendre puis, se ravisant, comme s'il était revenu à ces procédés habituels de décomposition en triangles et en rectangles.

Ainsi donc il apparait sans équivoque que Boysset utilise la formule : surface d'un rectangle = Base x Hauteur. Il la calcule selon le procédé de la soma del cairat.

b - Autres types de figures

Conhet drechurier = triangle Ch. 4

La formule de surface est : Hauteur x Base prise perpendiculairement au milieu de la Hauteur. Bertrand assimile donc un conhet drechurier à un rectangle. Je note que la formule en croix n'est utilisée que dans ce chapitre pour l'arpentage de ce type de triangle. Tout se passe comme si Bertrand avait commis là une inadvertance qu'il rectifie ensuite en n'utilisant plus que la formule (Base/2) x Hauteur. Et en effet notre arpenteur est bien embarrassé lorsqu'au ch. 27 après avoir rappelé les principes d'arpentage en croix du conhet qu'il a stipulés au tout début du traité, il précise cependant : " Si tu veux prendre la base sur le côté le plus long tu peux le faire, mais quel que soit le côté le plus long, mesure combien de destres et combien de palms il aura et de ce nombre prends-en la moitié... ", il introduit donc ici la formule classique de l'aire du triangle, qu'il ne modifiera plus par la suite.

Conhet = triangle

(Base/2) x Hauteur. Il divise la Base par deux puisque il la prends " al plus larc " et procède de la façon suivante : " Si tu veux prendre la largeur sur la plus grande largeur [c'est à dire sur la base], tu peux le faire, mais ... mesure-la en destres et en palms et prends la moitié de ce nombre, multiplie le tout entier avec la longueur [c. à d. la hauteur] et tu trouveras ton résultat véritable sans te tromper Ch. 27. "

Posesion que non aya que 3 quayres = triangle

Le triangle, ou plutôt " la possession qui n'a que trois angles ", est justiciable de la formule du conhet = triangle : (Base/2) x Hauteur.

" Toi, arpenteur, tu arpenteras le côté le plus long sur la limite de cette possession [la base] et du total de destres et de palms que tu trouveras tu n'en écriras que la moitié... Puis tu mesures depuis le milieu de cette base jusqu'à l'angle qui se touve en face [la hauteur], une fois cela mesuré, écris-en le résultat... Puis, immédiatement si tu le désires, fais tes calculs de surface, sinon fais les à la maison [58] Ch. 42"

Surface du cercle

Boysset dans La siensa de destrar, inscrit un carré dans le cercle, puis calcule la superficie de ce carré et des arcs de cercle qu'il détermine, assimilant l'aire des arcs de cercle à la surface du triangle inscrit.

" Si tu arpentais une terre circulaire, inscrit un carré à l'intérieur en te servant de l'équerre et mesure-le en croix, mesure ensuite la flèche de chacun des arcs de cercle puis vois quelle est la longueur de la corde, prends-en la moitié et tu trouveras tes calculs exacts ainsi que la superficie Ch. 5. "

Périmètre du cercle

Cette méthode est introduite dans La siensa d'atermenar lorsqu'il s'agit de calculer des surfaces de voûtes, le périmètre du cercle est assimilé à 6 fois le rayon. Ici donc Boysset n'use pas d'un fil comme il l'a fait pour prendre la circonférence de la tour au ch. 34 mais se sert d'une approximation qui utilise une valeur grossièrement approchée du nombre p :

• 2pr = 6r
• p = 3

Cette valeur de 3 soit 21/7, est voisine des 22/7 qui sont couramment utilisés au Moyen Âge.

" Fais un cercle à l'aide d'un compas, une fois tracé le cercle, mesures-en le rayon et tu trouveras que six fois le rayon font la circonférence du cercle. Donc puisque 6 fois le rayon font la circonférence, 3 fois en font la moitié... [181] Ch. T84. "

Arcs de cercle

Leur surface est assimilée à celle du triangle inscrit, Boysset se sert donc de la formule du triangle .

Surface latérale du cylindre ou volume

Boysset utilise la formule Circonférence x Hauteur qu'il développe au ch. 34 :

" Prends ta mesure avec un fil au milieu de l'épaisseur du mur et déplace le fil sur le pourtour en mesurant toujours au milieu de l'épaisseur. Lorsque tu seras au bout du mur, ramasse ton fil puis va l'étendre sur un lieu plat. Une fois étendu, prends ton destre ou ta canne, mesure sa longueur et écris le nombre de cannes et de palms que tu auras trouvé dans la longueur de ce fil. Vois ensuite la hauteur de la tour.... Ch. 33"

Surface de voûtes

Boysset assimile les voûtes à des surfaces passibles de l'arpentage en croix mais il affecte aux dimensions un coefficient multiplicateur de 3/2 ou de 2/3. Il utilise cette méthode dans les deux traités au ch. 34 et au ch. T84.

 

 

Le tableau suivant récapitule les données fournies par les passages que nous venons d'examiner.